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写下来的词句或说出来的语言在我的思维机制里不起任何作用……那些似乎可用来作为思维元素的心理实体，是一些能够“随意地”使之再现并且结合起来的符号和多少有点清晰的印象……对我来说，上述那些元素是视觉性的，也有一些是肌肉型的。

正如贝克莱所说的：“根深蒂固的偏见也常常会演变为原理，这些性质一旦获得了原理所具有的力量和声望，不仅它自身，而且由它推出的任何结论，都会无需验证而被人们接受。”

魏尔斯特拉斯的例子没有早出现是微积分发展史上的幸事，正如皮卡（EmilePicard）在1905年所说的那样：“如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可导，微分学将无以产生。”的确，严谨的思想也可阻碍创造。

然而，批评并未就此中止，魏尔在《数学和自然科学的哲学》（1949年）说，《原理》中数学的基础不仅仅是逻辑，还有一种逻辑学家的天堂，一个具有某种结构极为复杂的，“终极内涵”的宇宙……有哪个头脑现实的人会敢说他相信这个超自然的世界呢？……这个复杂的结构对我们信仰力量的压制，不亚于早期教会神父或中世纪经院哲学的教条。

一个寓言恰如其分地概括了本世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经伫立了许多世纪。在城堡的地下室生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。

贝克莱：根深蒂固的偏见也常常会演变为原理，这些性质一旦获得了原理所具有的力量和声望，不仅它自身，而且由它推出的任何结论，都会无需验证而被人们接受。

欧拉的宗教信仰是他确信，上帝赋予人类的使命是运用人类自身的才能去离家她的法则，自然之书已经打开展现在我们面前，但它是用一种我们一时半会不能理解的语言写成的，只有用毅力、热爱、坚忍和钻研才能读懂，这种语言便是数学。

根据布劳维的观点，经典的逻辑是从有限集及其子集的数学中提取出来的……忘记了这一有限的起源，人们就会错误地把逻辑看作是高于并且先于全部数学的某种东西，从而不加证明的将其运用到无限集合的数学中去。这是集合论的堕落和原罪，而悖论的出现就是其应受的惩罚

希腊的智者们对自然采取了一种全新的态度。这种态度是理性的、批判的和反宗教的。神学中上帝按其意愿创造了人和物质世界的信仰被摒弃了。智者们终于得出了这样的观念：自然是有序的，按完美的设计而恒定地运行着。从星体的运动到树叶的颤动，所有感官能感知的现象都能用一种精确、和谐而理智的形式来描述。简而言之，自然是按理性设计的，这种设计，虽然不为人的行为而影响，却能被人的思维所理解。

笛卡儿和莱布尼茨想把逻辑定律发展为一个统一的推理的科学或一个统一的推理演算方法，并且适用于所有的思维领域。同时，他们还有这样的想法，即像代数那样用符号来使得推理定律得以严密且便利地使用。笛卡儿是这样提及数学方法的：“比起前人所馈赠于我们的知识工具来说，数学作为所有其他方法的源泉是最有力的。”莱布尼茨的普遍逻辑构想比笛卡儿的更为明确，它需要三个基本元素。

以谦接物者强，以善自卫者良。