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公案的目的很可能恰恰在于使人困惑，因为人的心智处于困惑之时就会在某种程度不合逻辑地运转。只有跨出逻辑，摆脱理论，人才能跃入顿悟境地。

当一个人在遗忘时，这往往是意味着失去了一个高层指针——而不是说某些信息被删除或毁坏了。这就进一步强调了，保持通向你所存储的经验的路径是极端重要的，因为你无法事先知道你将要在什么情况下——或以什么角度——从存储器中取出某些东西来。

希尔伯特当然充分了解这种两难局面。因而表示希望找出一个对一致性或完全性的论证，而这个论证只用到推理的“有穷”形式，即那些通常被数学家所接受的一小类推理方法。希尔伯特希望，用这种方法，数学家们可以拽着自己的鞋带把自己部分地举起来：只利用数学中的一小部分方法来证明整个数学方法是正确的。

如果心智在一个否定句中除了晦暗的障碍以外什么都看不到，那该是多么平淡乏味啊！一个活生生的心智总能发现通往可能性世界的窗口。

在这个层次结构的最底层是对象语言。对象语言只涉及特定的域，而不涉及对象语言本身（比如它们的文法规则，或其中的其体句子）。如要涉及它们，则要有一种元语言。对于语言的两个层次这一经验，所有学习外国语的人都是很熟悉的．然后，就要有一种元元语言来讨论元语言，以此类推。这就要求每一个句子都明确属于层次结构的某一层。那么，如果一个给出的句子找不出它属于哪一层，这个句子就会被认为是无意义的，因而被忘掉。

巴赫的名字BACH，每个字母各是一个音名。。。得排除H。音名只从A到G。。。他的情况有些特殊。在德国，音名的记法和我们略有不同。我们用B的地方，他们用H，而我们用降B的地方，他们用B。比如说，我们说巴赫的“B小调弥撒曲”，他们却说“H小调弥撒曲”。

在第十二章中我曾提出，我们所谓的自由意志实际上是代表自我的符号（或子系统）与脑中的其他符号相互作用的结果。......为了要认识自由意志问题，一种办法是先用一个我认为是等价的问题来替换它，而这个问题相对来说涉及的概念不那么复杂，也不太引起异议。

它揭示了不仅在罗素和怀特海提出的公理系统中有不可弥补的“漏洞”，并且，更一般地说，没有一个公理系统可以产生所有的数论真理，除非它是一个不一致的系统！

复杂到一定程度的递归系统，其能力可能会强有力得足够打破任何事先规定下来的模式。这不就是使智能成其为智能的性质之一吗？与其仅仅思考由可以递归的调用自身的过程组成的程序，为什么不考虑得更复杂一些，设计出可以修改自身的程序——可以作用于程序本身，扩展、改进、推广、加固程序的程序？智能的核心之处大概就是这种“交织的递归”之所在。

两步循环。第一个句子，因为它谈论第二个句子，所以一定比第二个句子高一层。但是，根据同样的道理，第二个句子一定比第一个句子高一层。由于这是不可能的，所以两个句子都是“无意义的”。更准确地说，这样的句子根本不可能在建立于严格语言层次上的系统中形成。这样就防止了任何徉式的说谎者悖论以及格瑞林悖论。

不要睡懒觉，不和太阳一同起身就辜负了那一天。勤奋是好运之母，反过来，懒惰就空有大志，成不了事。