其中有一个是有名的哥德巴赫猜想。哥德巴赫(Goldbach,1690~1764)(除了1742年他在一封给欧拉的信中提出这个问题外,他在数学史上没什么地位)。
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就像接受简单的普通逻辑规则那样,我们将毫不犹豫地接受它,并把这作为数学推理的一个基本原则。因为这是我们能够证明任意命题An是正确的。这从给定论断b)A1是真开始,然后重复运用论断a)依次证明A2,A3,A4等等为真,一直到我们得到命题An为止。
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莱布尼茨在他的二进位算术中看到了宇宙创始的原象,他想象1表示上帝,而0表示虚无,上帝从虚无中创造出所有实物,恰如在他的数学系统中用1和0表示了所有的数。
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数学教学有时竟变成空洞的解题训练。这种训练虽然可以提高形式推导的能力,但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。
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以十为基底变成任何其他基底B的一般规则是,用B连续除以十为基底的整数z,所得的余数将是以B为基底的系统中的数码。
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作为一个练习,读者可以证明:从以十为基底变成任何其它基底B的一般规则是,用B连续除以十为基底的整数z,所得的余数将是在以B为基底的系统中数码
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莱布尼茨(W.Leibniz)(1646-1716)是他那个时代最伟大的思想家之一,他十分欣赏二进制位。用拉普拉斯(Laplace)的话来说:“莱布尼茨在他的二进制位算术中看到了宇宙创始的原象。他想象1表示上帝,而0表示虚无,上帝从虚无中创造出所有实物,恰如在他的数学系统中用1和0表示了所有的数。”
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为了证明这样一个队每一个自然数n都成立的定理,只对n的前10个、前100个甚至前1000个值来证明是不够的。这种做法相当于经验归纳法。与此相反,我们必须用一个严格的数学的、非经验的推理方法。
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对于科学方法来说,重要的是应放弃形而上学性质的因素,而去考虑那些可观测的事实,把它们作为概念和构作的最终根源,放弃对“自在之物”的领悟,对“终极真理”的认识以及关于世界的最终本质的阐明,这对于质朴的热诚者来说,可能会带来一种心理上的痛苦,但事实上它却是近代思想上最有成效的一种转变。
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至于点、线、数,“实际上”是什么,这不可能也不需要再数学科学中加以讨论,“可验证”的事实只是结构和关系:两点决定一直线,一些数按照某些规则组成其他一些数,等等。基本的数学概念必须抽象化,这一见解是近代公理化发展中最重要的和最丰富的成果之一。
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虽然希腊人曾经把点和线等几何概念作为他们的数学基础,但是,所有的数学命题最终应归结为关于自然数1,2,3,...的命题,这一点已变成了现代的指导原则。“上帝创造了自然数,其余的是人的工作。”在这句话中,克隆尼克指出了建立数学结构稳固基础的条件。