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就像接受简单的普通逻辑规则那样，我们将毫不犹豫地接受它，并把这作为数学推理的一个基本原则。因为这是我们能够证明任意命题An是正确的。这从给定论断b）A1是真开始，然后重复运用论断a）依次证明A2,A3，A4等等为真，一直到我们得到命题An为止。

其中有一个是有名的哥德巴赫猜想。哥德巴赫（Goldbach，1690~1764）（除了1742年他在一封给欧拉的信中提出这个问题外，他在数学史上没什么地位）。

莱布尼茨在他的二进位算术中看到了宇宙创始的原象，他想象1表示上帝，而0表示虚无，上帝从虚无中创造出所有实物，恰如在他的数学系统中用1和0表示了所有的数。

数学教学有时竟变成空洞的解题训练。这种训练虽然可以提高形式推导的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。

以十为基底变成任何其他基底B的一般规则是，用B连续除以十为基底的整数z，所得的余数将是以B为基底的系统中的数码。

作为一个练习，读者可以证明：从以十为基底变成任何其它基底B的一般规则是，用B连续除以十为基底的整数z，所得的余数将是在以B为基底的系统中数码

为了证明这样一个队每一个自然数n都成立的定理，只对n的前10个、前100个甚至前1000个值来证明是不够的。这种做法相当于经验归纳法。与此相反，我们必须用一个严格的数学的、非经验的推理方法。

对于科学方法来说，重要的是应放弃形而上学性质的因素，而去考虑那些可观测的事实，把它们作为概念和构作的最终根源，放弃对“自在之物”的领悟，对“终极真理”的认识以及关于世界的最终本质的阐明，这对于质朴的热诚者来说，可能会带来一种心理上的痛苦，但事实上它却是近代思想上最有成效的一种转变。

至于点、线、数，“实际上”是什么，这不可能也不需要再数学科学中加以讨论，“可验证”的事实只是结构和关系：两点决定一直线，一些数按照某些规则组成其他一些数，等等。基本的数学概念必须抽象化，这一见解是近代公理化发展中最重要的和最丰富的成果之一。

虽然希腊人曾经把点和线等几何概念作为他们的数学基础，但是，所有的数学命题最终应归结为关于自然数1，2，3，...的命题，这一点已变成了现代的指导原则。“上帝创造了自然数，其余的是人的工作。”在这句话中，克隆尼克指出了建立数学结构稳固基础的条件。

我们的童年总是走在野花烂漫的小路上，我们的少年总是走在灯光昏黄的小巷里。