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定义一公理一定理一证明：这条由欧几里得开辟的道路将成为他所有的后继者必须要追寻的路径。

正是由于几何学的出现，才成就了人类历史上第一批最伟大的数学之星，比如泰勒斯、毕达哥拉斯和阿基米德。……在数学王国，几何学是当之无愧的女王，如果不经过她的筛选，没有任何声明能够被验证。几何学的霸权将超越古典时代和希腊文明长久地流传下去，人类需要再花上将近2000年的时间，才能等到文艺复兴时期的学者们发起一场广泛的、数学的现代化运动。这场运动会将几何学赶下唯我独尊的王位，取而代之的是一门全新的语言：代数语言。

哲学写在这部称为宇宙的大书上，这本书永远打开着，接受我们的凝视。但要是我们不先掌握它的语言，不去解读它赖以记录的字符，那我们就不可能理解这部大书。它以数学语言写就，其字符是三角形、圆形和其他几何图形。没有这些，凡人连一个词也读不懂；没有这些，人们就在暗黑迷宫中徘徊。——伽利略《试金者》

公元628年，婆罗摩笈多发表了他最重要的著作：《婆罗摩修正体系》。在这本书中出现了第一个对于数字零和负数，以及它们的算术性质的完整描述。

多亏了虚数的发现，所有的三次方程都有了三个解，所有的四次方程都有了四个解，以此类推。总面言之，规则是：一个方程的解的数量等于它的次数。这个猜想在18世纪被提出，19世纪初期，德国数学家高斯证明了它。今天，我们称之为“代数基本定理”。

一个定理应该是一种对数学世界的观察，一个被数学家们观察、检验并记录下来的事实。一个定理绝不仅仅是陈述一个数学事实，它必须被用尽可能普适的方式概况出来或写出公式，并且必须伴有使之得以成立的证明过程。

在与几何学相关的职业中，我们还不得不提到古希腊的“皇家测量员”。这些皇家测量员的工作，就是通过走路来测量距离的长短。

如何辨别一个理论是否值得注意呢？纵观历史，有两个主要标准引导了数学家们的探索。其一，这个理论必须要有用；其二，这个理论必须是美的。

阿基米德明白，计算π的准确数值是很困难的，甚至是不可能的事情。因此，他所能做到的，也不得不只是计算出个r的近似值，但是他的计算方法却是卓越的，其中有两个突出的地方。首先，在阿基米德之前，人们认为，或许会有一种精确的方法计算π值，而这位西西里的学者却非常清楚，我们竭尽全力也只能得π的近似值。其次，阿基米德估算了他获得的近似值和π的真实数值之间的区别，然后不断完善他的方法，使得两者之间的区别越来越小。

对于三角学来说，阿拉伯世界的学者们将起到关键的作用，不仅仅是因为他们撰写出了更精确的三角函数表，还因为他们对于三角函数的应用。

顺势而为才能避免危险，有所成就。